PELUANG

Salah satu cabang dari matematika adalah hitung peluang yang didalamnya dipelajari teori peluang ( probablitas) atau teori kemungkinan. Penerpan teori peluang

digunakan dalam ilmu pengetahuan alam maupun ilmu pengetahuan social. Dalam ilmu

social, teori peluang digunakan dalam menyelesaiakan masalah bisnis, antara lain untuk

meramalkan produksi suatu perusahaan dalam jangka panjang dan sebagainya.

A. KAIDAH PENCACAHAN ( PRINSIP DASAR MEMBILANG )

Prinsip dasar membilang menyatakan bahwa :

Jika suatu peristiwa dapat terjadi dalam m cara yang berbeda, dan setelah salah

satu cara peristiwa itu terjadi, suatu peristiwa lain dapat terjadi dalam n cara yang

berbeda maka kedua peristiwa dalam uruan itu dapat terjadi sebanyak m x n yang

berbeda.

Banyaknya peristiwa pada prinsip dasar membilang dapat diperluas lebih dari dua

peristiwa.

Contoh

1. Seorang siswa mempunyai 3 baju dan 2 celana. Berapakah banyaknya

cara siswa itu dapat berpakaian ?

Jawab :

Siswa tersebut dapat berpakaian sebanyak = 3 x 2 = 6 cara. Coba

sebutkan 6 pasang baju-celana tersebut!

2. Dari 6 siswa akan diambil gambar fotonya. Jika pengambilan setiap

gambar foto terdiri dari 2 orang, berapakah banyaknya cara pengambilan

gambar foto yang mungklin terjadi?

Jawab :

Sebagai ilustrasi  dibuat 2 tempat untuk 2 orang yang aka diambil

fotonya, yaitu tempat I dan II berikut.

 Tempat I : dapat ditempati oleh 1 siswa dari 6 siswa, jadi ada 6 cara I II III

Tempati II : dapat ditempati oleh siswa dari 5 siswa, sebab yang satu

siswa sudah berada di tempat I, sehingga ada 5 cara.

Jadi banyaknya cara pengambilan gambar foto ada : 6 x 5 = 30 cara.

3. Berapakah banyaknya bilangan yang terdiri dari 3 angka dapat disusun

dari angka-angka 1, 3, 5 dan 7 jika angka-angka itu:

a. boleh muncul berulang

b. tidak boleh muncul berulang

 Jawab :

sebagai gambaran disediakan tiga tempat untuk tiga angka berikut : 

            

a. Jika angka-angka boleh muncul berulang. Tempat I, II,, dan III

dapat ditempati angka-angka masing-masing sebanyak 4 cara, jadi

banyaknya bilangan ada = 4 x 4 4 = 64 cara

b. Jika angka-angka tidak boleh muncul berulang. Tempat I, II dan III

dapat ditempati angka-angka berturut-turut 4 cara , 3 cara, dan 2

cara. Jadi banaknya bilangan ada 4 x 3 2 = 24 cara  

B. FAKTORIAL

Definisi nFaktorial adalah hasil kali bilanga asli berurutan dari ‘1’ sampai n atau

sebaliknya. N factorial ditulis n!

N! = 1.2.3…..(n-2).(n-1).n atau n! = n. (n-1). (n-2)….3.2.1

Sifat-sifat factorial :

1. 1! = 1 

2. 0! = 1

3. n! = n (n-1)!

Contoh soal

1. Hitung

2!.5!

jawab : 60

1.2

1.2.3.4.5

!2

!5

== 2. Ubahlah ke dalam bentuk factorial 8.7

jawab : 8.7 =

!6

!8

!6

!6.7.8

=

3. Tentukan nilai n jika 20

)!2(

=

+

n

n

 

jawab : 20

)!2(

=

+

n

n

( n + 2 ) ( n  + 1 ) = 20

n

2

+ 3n – 2 – 20 = 0

n

2

+ 3n  – 18 = 0

(n + 6 ) ( n – 3 ) =0

n = -6 atau n = 3

n = -6 tidak memenuhi karena n! terdefinisi untuk n ≥ 0. jadi n = 3

Contoh 2.1

Dari kota A menuju ke kota B ada 3 pilihan lintasan, sedangkan dari kota B ke kota C ada

4 pilihan lintasan. Berapa pilihan lintasan dari kota A ke kota C bila melalui kota B?

     B

        A                   C

Gambar 2.1

Jawab:

Banyaknya lintasan dari kota A ke kota C melalui kota B adalah

AB1 – BC1  AB2 – BC1  AB3 – BC1

AB1 – BC2  AB2 – BC2  AB3 – BC2

AB1 – BC3  AB2 – BC3  AB3 – BC3

AB1 – BC4  AB2 – BC4  AB3 – BC4

Ada  3  4  = 12 pilihan lintasan dari kota A ke kota C melalui kota B

Contoh 2.2

Seorang Ibu mau pergi ke undangan, memiliki 3 stel baju yang layak digunakan, ada 3

pasang sepatu dan 2 buah tas. Ada berapa pilihan pasangan baju, sepatu dan tas dapat

digunakan ke undangan tersebut?

Jawab:

Banyaknya pilihan pasangan baju, spatu dan tas adalah

Baju 1 – Sepatu 1 – Tas 1 Baju 1 – Sepatu 2 – Tas 1 Baju 1 – Sepatu 3 - Tas 1 

Baju 1 – Sepatu 1 – Tas 2 Baju 1 – Sepatu 2 – Tas 2 Baju 1 – Sepatu 3 - Tas 2 

Baju 2 – Sepatu 1 – Tas 1 Baju 2 – Sepatu 2 – Tas 1 Baju 2 – Sepatu 3 - Tas 1 

Baju 2 – Sepatu 1 – Tas 2 Baju 2 – Sepatu 2 – Tas 2 Baju 2 – Sepatu 3 - Tas 2 

Baju 3 – Sepatu 1 – Tas 1 Baju 3 – Sepatu 2 – Tas 1 Baju 3 – Sepatu 3 - Tas 1 

Baju 3 – Sepatu 1 – Tas 2 Baju 3 – Sepatu 2 – Tas 2 Baju 3 – Sepatu 3 - Tas 2 

Banyaknya pilihan ada 3  3 2 = 18 pilihan.

Pilihan tersebut dapat digambarkan sebagai diagram pohon seperti berikut

AB1

AB2

AB3

BC1

BC2

BC3

BC4

2

Tas 1

Tas 2

3

  Tas 1

Tas 2

     Sepatu 1  

                        3                                   Sepatu 2 Tas 1

     Sepatu 3 Tas 2

   Tas 1

Baju 1 Tas 2 

    Sepatu  1  Tas 1

     Sepatu 2 Tas 2

Sepatu 3

Baju 2    Tas 1

    Tas 2

        

 Tas 1

Sepatu 1 Tas 2

Baju 3                         Sepatu 2                        

     Sepatu 3             Tas 1

        Tas 2

    

        Tas 1

Tas 2

Gambar 2.2

Dari kedua contoh di atas, dapat  disimpulkan bahwa:

Bila suatu aktivitas dilakukan dengan k tahap, dan tahap pertama dapat dilakuakan

dengan  n1 cara, tahap kedua dapat dilakukan dengan n2 cara, ....,  dan tahap k dapat

dilakukan dengan  nk cara, maka  banyaknya cara melakukan aktivitas tersebut ada         

n1  n2  ...  nk

Faktorial Bilangan Asli

Definisi : Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :

n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … 3 x 2 x 1
n ! dibaca n faktorial

Telah diambil kesepakatan bahwa : 0 ! = 1

Contoh :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Permutasi

Unsur-unsur yang berbeda

Definisi: Permutasi adalah suatu susunan unsur-unsur berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang boleh diulang

Seorang Bapak yang sedang menunggui istrinya dalam proses persalinan, telah menyiapkan nama ANI untuk calon bayi yang akan segera lahir. Beberapa saat kemudian, bidan memberi tahu bahwa istrinya akan melahirkan bayi kembar. Si Bapak berfikir, berapa bayi kembar yang dapat dinamai dengan menggunakan huruf-huruf pada kata ANI?

Si Bapak merancang dengan menggambarkan diagram pohon berikut :

Dari cerita tadi, si Bapak mengambil untuk huruf pertama dari tiga huruf yang tersedia. Selanjutnya mengambil satu huruf untuk huruf kedua dari dua huruf yang tersisa. Terakhir, mengambil satu huruf sisa untuk huruf ketiga

3

2

1

Berdasarkan kaidah dasar membilang, maka banyaknya susunan 3 unsur (huruf) berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur (huruf) yang boleh diulang adalah = 3 x 2 x 1 = 6 susunan.

Secara umum, penyusunan n unsur berbeda dalam suatu urutan tertentu tanpa ada unsur yang diulang disebut permutasi dari n unsur. Susunan urutan dapat dibentuk dari n unsur sebanyak :

n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x . x 3 x 2 x 1 = n!

Banyaknya permutasi dari n unsur, diberi notasi P(n, n) diberikan oleh

P(n, n) = nx(n–1)x(n–2)x …  3 x 2 x 1

Berapa banyaknya nama yang dapat dibentuk dari huruf-huruf yang terdapat pada kata MIRA ? Banyaknya unsur yang tersedia sebanyak 5 dan susunan yang akan dibentuk terdiri atas 3 unsur, maka :

·         Huruf pertama dapat diisi dari 5 huruf pilihan yang mungkin

·         Huruf kedua dapat diisi dari 4 huruf pilihan sisa setelah terpakai pada huruf pertama

·         Huruf ketiga dapat diisi dari 3 huruf pilihan sisa setelah terpakai pada huruf pertama dan kedua

Berdasarkan kaidah dasar membilang, maka banyaknya susunan 3 unsur berbeda dalam urutan tertentu tanpa ada unsur yang boleh diulang adalah = 5 x (5-1) x (5-2) = 5 x 4 x 3 = 60 susunan. Secara umum, banyaknya permutasi r unsur dari n unsur dengan 0 < r < n adalah :

Buktikan bahwa P(n , n) = n! 

Contoh : Hitunglah permutasi-permutasi berikut

Lima putra dan tiga putri duduk berderet pada 8 kursi kosong sesuai dengan 8 lembar karcis bioskop yang mereka miliki. Berapa banyak cara untuk duduk yang diperoleh dengan urutan berbeda jika :

1.      Putra dan putri dapat duduk di sembarang kursi? 

2.      Putra dan putri masing-masing mengelompok sehingga hanya sepasang putra dan putri yang dapat duduk berdampingan?

Jawaban :

1.      Terdapat 8 orang yang menempati 8 kursi dimana perbedaan urutan duduk memberikan hasil yang berbeda. Ini adalah masalah permutasi 8 unsur dari 8 unsur atau P(8, 8) diberikan oleh : P(8, 8) = 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 3 x 2 x 1 = 40.320

2.      5 orang putra duduk pada 5 kursi tertentu dan pertukaran duduk hanya boleh pada ke 5 kursi tersebut, sehingga banyaknya cara duduk putra adalah P(5, 5). Demikian juga 3 putri duduk pada tiga kursi tertentu dan pertukaran duduk diatara mereka hanya boleh pada ke 3 kursi ini, sehingga banyaknya cara untuk duduk putri adalah P(3, 3). Dengan demikian, banyak cara duduk 5 putra dan 3 putri yang masing-masing mengelompok adalah P(5, 5) x P(3, 3) = 5! X 3! = 720  

Unsur-unsur yang sama

Dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA, berapa banyaknya pasangan huruf yang dapat dibentuk?

Jika mengingat kembali tentang permutasi, seharusnya banyaknya pasangan yang dapat dibentuk adalah sebanyak 10! pasangan.

Namun, apakah M₁A₁TEM₂A₂TIKA₃ sama dengan M₁A₃TEM₂A₂TIKA₁?

Ambil P sebagai jumlah permutasi berbeda untuk kesepuluh huruf.  Jumlah permutasi dari kedua huruf M adalah 2! dan jumlah permutasi dari ketiga huruf A adalah 3!  Sehingga jumlah total permutasi adalah  2! x 3! x P. 

Dengan demikian, diperoleh : 2!3!P = 10! Sehingga :

 

Contoh tersebut mengantarkan kita kepada definisi permutasi yang mengandung unsur yang sama: Misalnya suatu himpunan yang terdiri atas n elemen memiliki r1 elemen jenis pertama yang sama, r2 elemen jenis kedua yang sama, ., dan rk elemen jenis ke k yang sama, dengan :

r1 + r2 + . rk < n

maka banyak permutasi berbeda dari n elemen diberikan oleh :

Contoh :

1.      Jika huruf-huruf pada kata "BOROBUDUR" dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?

2.      Berapa cara yang berbeda untuk menuliskan hasil kali a4b2c2 tanpa menggunakan eksponen?

Jawaban :

1.      Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:

2.      a⁴b²c² dapat dituliskan sebagai perkalian berikut : Perkalian tersebut mempunyai jumlah 8 huruf. Huruf a diulang 4 kali, huruf b diulang 2 kali, dan huruf c diulang 2 kali sehingga banyaknya cara untuk menuliskan tanpa menggunakan eksponen diberikan oleh :

Siklis

Tiga orang siswa akan berdiskusi dengan cara duduk mengelilingi meja bundar. Berapa cara mereka duduk berdampingan mengelilingi meja bundar tersebut?

Empat orang siswa akan berdiskusi dengan cara duduk mengelilingi meja bundar. Berapa cara mereka duduk berdampingan mengelilingi meja bundar tersebut?

Kedua contoh tersebut membawa kita ke definisi permutasi siklik (melingkar), yaitu : Permutasi siklik dari n unsur adalah : (n - 1)!

Contoh :

Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?

Jawaban :

Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :

(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Kombinasi

Kombinasi adalah campuran atau gabungan atau susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.

Contoh :

Seorang pemuda akan mempersembahkan serangkaian bunga dua warna dari lima warna bunga yang terdapat di tamannya. Berapa macam rangkaian bunga yang dapat dibuat pemuda tersebut?

Jawaban :

Apakah sama antara rangkaian bunga {Merah, Kuning} dengan rangkaian bunga {Kuning, Merah} ? Kasus tersebut dinamakan kombinasi dua unsur dari lima unsur yang tersedia dan dilambangkan dengan :

Permutasi 2 unsur dari 5 unsur ditulis   yang merupakan dua kejadian berikut :

1.      Membuat rangkaian bunga yang memiliki 2 unsur dari 5 unsur yang tersedia dengan tidak 
memperhatikan urutan terdapat   cara 

2.      Menyusun elemen-elemen himpunan bagian dalam urutan yang berbeda yaitu {MK, KM}, {MB, BM}, {MH, HM}, {MP, PM}, {KB, BK}, {KH, HK}, {KP, PK}, {BH, HB}, {BP, PB}, dan {HP, PH} terdapat dua cara penyusunan atau 2! cara

Kejadian gabungan 1 diikuti oleh 2 adalah permutasi 2 unsur dari 5 unsur atau  P(5, 2) = 

Sehingga banyaknya kombinasi r elemen dari n elemen dengan 0 < r < n, diberi notasi   adalah

Latihan

Tes

Tim

Tim Pengembang

Penulis	:	Drs.Asep Zaenal rahmat, M.Pd
Pengkaji Materi	:	Drs.Bambang Irawan, M.Si
Pengkaji Media	:	Gatot Pramono M.PET
Pemimpin Tim	:	Hardianto
Pemrogram	:	M.Hasan Chabibie
Designer Grafis	:	Dwi harianti
Pengontrol Kualitas	:	M.Nasehadin